Доктор физико-математических наук и профессор Санкт-Петербургского государственного университета Николай Александрович Вавилов – один из авторов уникального образовательного курса «Mathematica для нематематика». Его цель – сфокусироваться на идейной стороне математики, на тех увлекательных аспектах предмета, которые привычные программы подготовки, как правило, оставляют в стороне. В итоге предмет, зачастую ассоциирующейся с рутиной и сложностью, предстает перед студентами как настоящее искусство. Неудивительно, что такой курс живет и получает признание. В 2018-2019 годах проект «Mathematica для нематематика» был поддержан Фондом Потанина в рамках грантового конкурса для преподавателей магистратуры, а в 2021 году победил в номинации «Лучшая инновационная идея» в конкурсе инновационных проектов в сфере науки и высшего образования Санкт-Петербурга.

Николай Александрович, могли бы вы рассказать подробнее, когда и как возникла идея создания проекта?

Мы с Владимиром Георгиевичем Халиным начинали этот проект лет 15-16 назад, чуть позже к нам присоединился Александр Васильевич Юрков. Вместе мы разработали несколько новых курсов для студентов двух направлений экономического факультета Санкт-Петербургского государственного университета на общую тему «Математика и компьютер», из которых и возник наш учебник «Mathematica для нематематика». Владимир Георгиевич настаивал, что этот курс должен стать доступным не только студентам СПбГУ, и для реализации этого проекта решил подать заявку на грантовый конкурс для преподавателей магистратуры Фонда Потанина.

Несколько слов о философии нашего курса. Математика является важнейшей частью человеческой культуры. Как сама математика, так и области ее применения постоянно менялись. В то же время содержание традиционных математических курсов оторвано и от ее современного состояния, и от сферы ее сегодняшнего применения. Это общемировое явление, которое касается не только школьного образования, но и университетского.

В действительности, мы гораздо лучше понимаем, как нужно учить математике самих математиков. Более того, это у нас как раз довольно хорошо получается, как в России в целом, так и, в частности, в Петербурге. Надо сказать, что в значительной степени эта культура основывается на созданной в начале 1960-х годов системе физико-математических школ, которая и сегодня остается с огромным отрывом лучшей и самой эффективной частью всего российского образования.

А вот общая математическая подготовка и математическая подготовка специалистов других областей явно не отвечают сегодняшним потребностям. Существующие курсы всех уровней малоинтересны с точки зрения содержания, узки по охвату материала и носят чрезвычайно технический характер. Они сфокусированы на выработке вычислительных навыков, большинство из которых восходит к эпохе, предшествующей строительству египетских пирамид, заведомо устаревших и бесполезных в наше время. Одновременно с этим основные, самые важные, полезные, интригующие и увлекательные пласты математики – понятия, идеи, аналогии, конструкции, метафоры – вообще практически не затрагиваются.

Распространение компьютеров и систем символьных вычислений дает нам сегодня уникальную возможность все это изменить. Тридцать лет назад Дорон Зайльбергер сказал, что компьютер начал делать для математики то, что телескоп и микроскоп сделали в XVII веке для астрономии и биологии. И я с этим полностью согласен: сегодня для математики открылись такие же возможности, как тогда перед естественными науками. Всё, что мы делаем в этой области, – новое.

Нам было интересно попробовать учить математике по-новому. Перепоручить основную часть рутинных вычислений системам компьютерной алгебры и целиком сфокусироваться на идейной стороне математики. Однако это было связано с организационными и техническими моментами (разработка и утверждение новых программ, приобретение техники и математических пакетов и т.д.) и, нужно сказать, в то время нас сильно поддержало руководство экономического факультета и университета.

Сам я серьезно заинтересовался компьютерной алгеброй в 1990-х годах во время работы в Италии и Германии, где использовал символьные вычисления в научной работе с коллегами. Конечно, я сразу увидел потенциал применения в преподавании математики на разных уровнях. Но из-за принятого традиционного подхода к преподаванию математики многие в то время отвергали эту идею. Поэтому мне было интересно попробовать, когда Владимир Георгиевич предложил реализовать это на экономическом факультете.

С другой стороны, сейчас мы реализовали близкую философию и в обучении самих математиков. В России во всех вузах на математических факультетах младшим курсам преподают три основных общематематических предмета: алгебра, геометрия и топология, математический анализ. На нашем факультете математики и компьютерных наук их четыре: алгебра, геометрия и топология, математический анализ и теоретическая информатика. Мы считаем, что математиков с самого начала нужно учить алгоритмическому мышлению – не конкретному программированию и кодированию, а именно пониманию общих аспектов вычисления, алгоритмов, сложности: что вообще можно вычислить, что нет, сколько это примерно займет времени и так далее.

Какие этапы прошел проект прежде, чем получить заслуженную награду в 2021 году?

Именно в связи с появлением компьютеров многие считают, что теперь массовое обучение математике не нужно. Мы, наоборот, уверены, что учить нужно больше – более глубокой, трудной и разнообразной математике. Но преподавать математику необходимо совершенно иначе, чем это обычно делается сегодня. Учить другой математике и, главное, учить иначе, с использованием современных инструментов.

Никому из сегодняшних инженеров и экономистов не придется обращать матрицы, решать системы линейных уравнений, вычислять интегралы или решать дифференциальные уравнения вручную. А вот понимать, что это такое, на каких математических идеях основано, как применяется, совершенно необходимо.

Ситуация здесь полностью аналогична попытке бороться против использования калькуляторов. Полезно понимать математическую идею, лежащую в основе длинного умножения, но систематически упражняться в умножении многозначных чисел в то время, как любое карманное устройство сделает это быстрее, точнее и надежнее, подобно систематическому упражнению в разведении огня при помощи трения.

Ясно, что сегодня полноценное преподавание математики неспециалистам должно включать использование систем символьных вычислений. Но большинство преподавателей этого боятся. Потому что, если разрешить использовать компьютеры, совершенно непонятно, как оценивать знания. То есть нужно перестраивать всё: не только сами курсы, но и, в первую очередь, системы тестов, экзаменов и так далее.

Мы попробовали зайти с другой стороны, а именно разработать курс, построенный на основе задач, которые можно решать либо чисто математически, либо алгоритмически, при помощи написания программ. При этом фактически мы использовали не обычные низкоуровневые языки программирования, а именно продвинутые системы компьютерной алгебры общего назначения, Maple и Mathematica. На сегодняшний день это два основных коммерческих пакета для проведения математических вычислений неспециалистами.

Мы уделяли основное внимание объяснению самых простых и самых общих идей потому, что как математики верим в мощь простых, но могущественных идей. Но главным и самым трудным в нашей работе было именно создание полноценной системы, включающей сотни задач по основным разделам математики, преподаваемым экономистам, комбинаторика и дискретная математика, базовая теория чисел, необходимая для приложений в информатике, матрицы, многочлены, линейная алгебра, математический анализ и так далее. Данный опыт оказался чрезвычайно успешным: курсы были включены в программы подготовки по двум специальностям – математические методы в экономике и информационные системы в экономике (сейчас эта специальность в СПбГУ называется иначе – бизнес-информатика). Начиная с 2005-2006 гг. студенты этих специальностей стали проходить наш курс и, как многие потом говорили, это полностью изменило их отношение к математике. Тут исключительно важна роль Владимира Георгиевича, на тот момент заведующего кафедрой информационных систем в экономике, – благодаря его энтузиазму и настойчивости наш курс был одобрен и включен в учебный план университета.

Первоначально учебные материалы по курсу «Математика и компьютер» были оформлены как внутреннее издание Санкт-Петербургского государственного университета, но потом появилась идея сделать их широко доступными в более сжатом формате. Поэтому мы с коллегами решили подать заявку на грант Фонда Потанина, и экспертное жюри приняло решение о поддержке проекта. Фактически в книгу «Mathematica для нематематика», вышедшую в издательстве МЦНМО, включена примерно треть нашего исходного материала. У нас еще несколько тысяч такого же типа задач в разных областях, примерно 1000 страниц.

Расскажите о планах – какое будущее у проекта, каких результатов хочется добиться?

В ближайшие месяцы в журнале Mathematics выйдет большая статья, посвященная обсуждению нашего проекта и вообще преподаванию математики нематематикам. В частности, мы уверены, что специалистам разных направлений нужно преподавать разные курсы математики, а не учить их одной и той же «высшей математике», скопированной с курсов столетней давности.

Если говорить о школьном образовании, то основная цель изучения математики состоит вовсе не в отработке конкретных навыков, как принято считать, а, прежде всего, в формировании интеллектуальной честности, иными словами, умения отличать то, что ты понимаешь, от того, что не понимаешь, то, что имеет точный смысл от того, что смысла не имеет, сказанное от подразумеваемого, доказанное от предполагаемого, правдоподобное от невозможного, верное от ложного, и так далее. Ну и, во-вторых, в гимнастике ума, его тренировке на решение вообще любых сложных задач.

Но на университетском уровне на первый план выходят другие цели – в первую очередь, развитие математического способа мышления, то есть способности начинать с первых принципов, рассматривать самый простой случай, использовать аналогии и метафоры, обобщать и специализировать, и так далее. Ну и, конечно, развитие собственно математического понимания и тренировка основных способов рассуждений.

Исторически математика была чрезвычайно успешной во многих приложениях, первоначально в астрономии и физике, потом в других областях естествознания и техники. Я уверен, что математика является естественным посредником между духом и материей и могла бы сегодня сыграть такую же роль во всех остальных областях знания, биологии, медицине, науках о человеке, обществе, языке, мышлении и так далее.

Если этого фактически пока не происходит, то только потому, что специалисты в этих областях травмированы текущей модальностью преподавания математики, начиная со школы, не знают ту математику, которая им нужна, и, что еще гораздо хуже, вообще не понимают, почему это знание им необходимо. И это проблема, которую необходимо решать всему научному сообществу, как специалистам в этих предметных областях, так и математикам. Поэтому, конечно, нужны и совершенно новые курсы для гуманитариев, причем разные курсы для разных направлений.

Мы начали пропагандировать эти идеи в вузах Санкт-Петербурга. Так, в декабре 2020 года у нас проходила школа в МНМЦ (математический научно-методический центр). В рамках этой школы мы с Владимиром Георгиевичем и Александром Васильевичем рассказывали про наш проект и обсуждали с преподавателями вузов Санкт-Петербурга и Северо-Запада то влияние, которое компьютеры оказывают на математику и ее преподавание.

Сейчас мы с коллегами обсуждаем огромный новый проект – создание российской системы компьютерной алгебры. Дело в том, что сегодня существует совсем немного серьезных продвинутых систем символьных вычислений. Конечно, есть большое количество чисто учебных систем, крайне элементарных и с ограниченными возможностями. Есть огромное количество узкоспециализированных систем, заточенных под конкретные приложения, использовать которые могут только профессионалы. А вот современных систем общего назначения примерно четыре с половиной. Две из них коммерческие – Maple и Mathematica. С точки зрения массового пользователя они слишком дорогие и сложные, построить на их основе образование в массовой школе невозможно. Кроме того, они, естественно, на английском языке.

Было бы чрезвычайно важно для всей страны создать современную российскую систему символьных вычислений с интерфейсом на русском языке, которая была бы открытой (open-source), и код которой мог бы модифицировать любой заинтересованный пользователь. Такая система была бы доступна для использования во всех школах. Мы начали обсуждать такой проект вместе с коллегами из Москвы, Дубны и других городов. Но это действительно грандиозная задача, требующая вовлечения десятков людей на протяжении многих лет и серьезных материальных вложений уже на уровне создания. К тому же, в случае успеха предстоит переучивать десятки тысяч учителей и преподавателей. Но это чрезвычайно достойная цель.

Как грантовая поддержка Фонда Потанина поспособствовала реализации проекта?

Фонд Потанина серьезно поддержал проект «Mathematica для нематематика» на заключительном этапе, в 2018-2019 годах. А именно, создание и подготовку к публикации учебника с таким названием. Основная часть гранта пошла на покупку современного оборудования и математических пакетов (hardware & software), а также создание и апробацию образовательного продукта.

Примерно за год с использованием этих средств мы проверили весь код, актуализировали его до последних версий и финализировали текст учебника, который в 2021 году вышел в одном из главных математических издательств – МЦНМО (Московский Центр Непрерывного Математического Образования). Абсолютно сознательно мы поместили этот учебник в открытый доступ. На этом этапе абсолютно решающими были усилия Александра Васильевича по сбору, проверке и обновлению наших исходных материалов за много лет, созданию и верстке окончательного текста.

Вообще, хочется поблагодарить Фонд за ту поддержку, которую он оказывает таким проектам, как наш, и в целом за культуру грантовых конкурсов, потому что она крайне важна для молодых специалистов. Благодаря различным благотворительным фондам, частным и государственным, наконец возникла устойчивая среда, которая позволяет молодым специалистам оставаться в профессии и успешно расти в науке, не отвлекаясь на приработки. Кроме Фонда Потанина это, например, Российский научный фонд, фонд «Базис» и многие другие.

Как вы считаете, математика доступна любому человеку или к этой науке должна быть определенная склонность?

Часто приходится слышать про «гуманитарный склад ума» и про людей «неспособных к математике». Я думаю, что все это глупости и никаких специфически математических способностей не существует. Занятие математикой есть мышление в чистом виде, любой, кто рассуждает точно на любую тему, занимается при этом математикой. Таким образом, если человек не способен к математике, то он не способен ни к какому мышлению вообще. Главные собственно математические способности – это эстетический вкус и упорство.

Просто школьное образование дает совершенно неправильное представление о том, что такое математика, потому что в школе она преподается как нечто среднее между военным делом, чистописанием и бухгалтерией. Целью школьной математики является тренировка аккуратности, старательности, памяти, дисциплины. Но это всё не имеет никакого отношения к математике как таковой. В действительности, настоящая математика как область деятельности гораздо ближе, скажем, к живописи, музыке или искусству слова.

Английский математик Годфри Харолд Харди говорил, что больше людей могли бы получать удовольствие от математики, чем от музыки или живописи. Фактически, конечно, далеко не все готовы воспринимать серьезную математику. Но все ли готовы воспринимать серьезную классическую музыку или живопись? Ответ здесь ровно такой же. Понимание зависит от культуры и уровня образования. Математика, как любое другое серьезное творческое дело, требует включенности в определенную культуру, в том числе часто и технической подготовки.

Но говорить, что кто-то к ней не способен – неверно. Все зависит от того, как ее преподавать. Преподавание математики должно, прежде всего, интриговать, увлекать и очаровывать – Mathematics is fun! И компьютеры, кстати, позволяют это показать. Другой вопрос, что математике нужно начинать учить рано. Здесь дело обстоит так же, как с изучением языков: чем раньше ребенок начинает учить язык, тем больше шансов, что он будет говорить на нем правильно и без акцента. Я вообще считаю, что в школе нужно учить ровно трем вещам – языкам, математике и музыке, по отношению к этим трем универсальным формам мышления все остальное является специализацией.

Возвращаясь к делению на ученых (knowledge) и гуманитариев (scholarship), я думаю, что культурные и ментальные деления гораздо сложнее и тоньше. Например, существуют огромные культурные различия между учеными и инженерами, между физиками и математиками, между математиками и прикладными математиками, и даже между представителями разных направлений внутри самой математики. Математика – отдельная область деятельности, не относящаяся ни к естественным, ни к гуманитарным наукам. Однако, например, характер работы математика и лингвиста часто гораздо ближе между собой, чем характер работы математика и физика.

За какими отраслями науки вы следите? Какими достижениями отечественных ученых гордитесь?

Наука сейчас стала настолько огромной, что даже за отдельными областями математики стало невозможно следить. Когда я начинал профессионально работать, примерно 50 лет назад, я мог просматривать рефераты всех статей по алгебре, а сейчас не всегда успеваю даже читать рефераты всех статей по теории алгебраических групп – области, которой непосредственно занимаюсь. В этом смысле происходит распределение доверия – наука, в частности математика, стала гораздо более коллективной. Это видно, например, по увеличению количества работ, написанных группами авторов. Всего полвека назад 70-80% математических работ имели одного автора, редко двух. А сейчас все больше работ, у которых 3-4 и даже 5 и более авторов.

Но, конечно, как обыватель, отнюдь не как специалист, я интересуюсь многими вещами – в физике, в биологии происходит масса удивительного. Моя детская любовь – лингвистика. В студенческие годы я долго не мог выбрать, чем заниматься профессионально – изучением языков или математикой. В нашей книге это тоже нашло отражение – там много чисто лингвистических шуток на разных языках: английском, немецком, итальянском.

Есть ли в мире науки (возможно, не только науки) авторитет, на которого вы равняетесь и почему именно на него?

Есть ли у меня герои и люди, которыми я восхищаюсь? Героев в буквальном смысле, за которыми я готов бежать, задрав штаны, конечно, нет, я, к счастью, вышел из этого возраста. А людей, которыми я восхищаюсь и у которых учился, много.

Если говорить про математику, то я считаю, что основателем современной континентальной европейской традиции, к которой я принадлежу, является великий визионер Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Через поколение его начинания были продолжены уже в более техническом плане Леонардом Эйлером, который, кстати, работал в Санкт-Петербурге и по сути является основателем всей российской математической школы. Он был величайшим математиком XVIII века и, в некотором смысле, первым профессиональным математиком. До него многие математики работали юристами, врачами и так далее.

Если говорить непосредственно об алгебре, то в Петербурге я бы выделил два имени: Дмитрий Константинович Фаддеев, основатель нашей алгебраической школы, и Андрей Суслин, совершенно гениальный математик, который значительно расширил тематику этой школы и вывел ее на новый уровень. Из московских математиков в профессиональном плане лично на меня сильнее всего повлиял Эрнест Борисович Винберг.

Ну а общекультурных героев у меня много. Сейчас принято составлять списки «top five», «top ten», «top twenty». Вот два наиболее характерных имени из моего личного списка «top ten thousand» – это китайский мыслитель эпохи Сражающихся Царств Чжуан Чжоу и Ричард Фейнман, чьи «Лекции по физике» задали для меня стандарт того, как вообще должны быть написаны учебники.

Поделитесь, пожалуйста, профессиональными планами на ближайший год и на долгосрочную перспективу.

Я – математик. Этим и интересен. Об этом и пишу. Так что, прежде всего, конечно, я планирую продолжать писать статьи в своей профессиональной области – в первую очередь, это алгебраические группы и алгебраическая K-теория. В Петербурге у меня абсолютно замечательные ученики, многие из которых – математики такого же класса, как я, или выше. У моих молодых коллег последние годы одна за другой получаются совершенно удивительные вещи – в нашей области мы одна из самых сильных групп в мире.

Я руководитель проекта Фонда развития теоретической физики и математики «Базис» и исполнитель в проекте моего ученика Сергея Синчука в Российском научном фонде. Поэтому мой главный план на ближайший год-два – сделать в этих проектах то, что мы обещали, тем более, что мы мечтали это сделать несколько десятилетий, и только сейчас появились решающие идеи.

Но и, конечно, второй аспект моей профессии, по факту неотделимый от первого – преподавание. Я – действующий профессор факультета математики и компьютерных наук СПбГУ. У нас фантастические студенты, лучшие в мире. Но это новый факультет, нас пока мало, так что большинству из нас приходится пока, кроме преподавания и науки, гораздо больше времени, чем хотелось бы, уделять административным и организационным проблемам.

Но, с другой стороны, с точки зрения истории, то, что мы делаем в этом жанре, возрождение и поддержание великой традиции, которую мы унаследовали от предыдущих поколений петербургских математиков, несомненно, гораздо важнее того, что делаем мы сами: «Моя цель – очистить и передать».